Maschinenbau-Student.de

Im ersten schritt muss überprüft werden ob die Matrize (Matrix) überhaupt invertierbar ist.

Dazu wird die Determinante von der Matrize (Matrix) gebildet. Sie muss ungleich Null sein und wird nach der Regel von Sarrus für 3-reihige Determinanten gelöst.

Die Matrix wird um die ersten zwei Spalten erweitert und die Werte innerhalb einer kompletten Hauptdiagonalen Multipliziert und die Ergebnisse Addiert. 

 

	4	-1	2	4	-1
A=	2	-8	2	2	-8
	-4	1	-1	-4	1

4•(-8) •(-1)+(-1) •2•(-4)+ 2•2•1=44

 

Im nächsten Schritt werden die Diagonalen gespiegelt und ebenfalls die Werte innerhalb einer kompletten Nebendiagonalen Multipliziert und die Ergebnisse Addiert.

 

	4	-1	2	4	-1
A=	2	-8	2	2	-8
	-4	1	-1	-4	1

-4•(-8) •2+1 •2•4+ (-1)•2•(-1)=74

 

Als letzter Schritt zur Berechnung der Determinante nach der Regel von Sarrus  wird das erste Ergebnis mit dem  zweiten Subtrahiert.

 

  44-74=-30

 Das Ergebnis ist Ungleich Null und damit ist die Matrize (Matrix) invertierbar.

Jetzt wird die Matrize (Matrix) um die Einheitsmatrix erweitert.

 

4	-1	2	1	0	0
2	-8	2	0	1	0
-4	1	-1	0	0	1

 

In den nachfolgenden Schritten, muss die Einheitsmatrix mit Hilfe von Addition und Subtraktion zwischen den Zeilen und Multiplikation und Division der einzelnen Zeilen auf die andere Seite gebracht werden. Man bringt erst die erste Spalte auf Null, dann die unterste Zahl der zweiten Spalte, dann die Nullen der 3 Spalte, danach die obere Null der mittleren Spalte und als letztes erzielt man durch Division die Einsen. Es muss aber nicht in der Reinfolge gemacht werden.

Bevor man beginnt zu rechnen nimmt man an das die erste Zeile Römisch 1, die zweite Römisch 2 und die dritte Römisch 3 ist.

 

4	-1	2	1	0	0
2	-8	2	0	1	0	-0,5Ι
-4	1	-1	0	0	1	+Ι

 

4	-1	2	1	0	0	-2ΙΙΙ
0	-7,5	1	-0,5	1	0	-ΙΙΙ
0	0	1	1	0	1

 

4	-1	0	-1	0	-2
0	-7,5	0	-1,5	1	-1	:-7,5
0	0	1	1	0	1

 

4	-1	0	-1	0	-2	+ΙΙ
0	1	0	1/5	-2/15	2/15
0	0	1	1	0	1

 

4	0	0	-4/5	-2/15	-28/15	:4
0	1	0	1/5	-2/15	2/15
0	0	1	1	0	1

 

1	0	0	-1/5	-1/30	-7/15
0	1	0	1/5	-2/15	2/15
0	0	1	1	0	1

 

	-1/5	-1/30	-7/15
A-1=	1/5	-2/15	2/15
	1	0	1

 

Um das Ergebnis zu überprüfen muss man die Matrize (Matrix) A mit der Matrize (Matrix) A-1 Multiplizieren.

Wenn A-1 stimmt müsste als Ergebnis die Einheitsmatrix rauskommen.

 

			-1/5	-1/30	-7/15
			1/5	-2/15	2/15
			1	0	1
4	-1	2	a	b	c
2	-8	2	d	e	f
-4	1	-1	g	h	i

 

Die einzelnen Felder werden wie folgt berechnet:

 

a=	4•(-1/5)+(-1)•1/5+2•1=	1
b=	4•(-1/30)+(-1)•(-2/15)+2•0=	0
c=	4•(-7/15)+(-1)•2/15+2•1=	0
d=	2•(-1/5)+(-8)•1/5+2•1=	0
e=	2•(-1/30)+(-8)•(-2/15)+2•0=	1
f=	2•(-7/15)+(-8)•2/15+2•1=	0
g=	-4•(-1/5)+1•1/5+(-1)•1=	0
h=	-4•(-1/30)+1•(-2/15)+(-1)•0=	0
i=	-4•(-7/15)+1•2/15+(-1)•1=	1

 

Probenergebnis:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

Ergebnis stimmt, da nach der Multiplikation die Einheitsmatrix als Ergebnis rauskommt.