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Gegeben ist die Matrize (Matrix) A

Gesucht ist A hoch -1 = A-1 (-1 ist normaler weise Hochgestellt)

 

	4	-1	2
A=	2	-8	2
	-4	1	-1

 

Im ersten schritt muss überprüft werden ob die Matrize (Matrix) überhaupt invertierbar ist.

Dazu wird die Determinante von der Matrize (Matrix) gebildet. Sie muss ungleich Null sein und wird nach der Regel von Sarrus für 3-reihige Determinanten gelöst.

Die Matrix wird um die ersten zwei Spalten erweitert und die Werte innerhalb einer kompletten Hauptdiagonalen Multipliziert und die Ergebnisse Addiert. 

 

	4	-1	2	4	-1
A=	2	-8	2	2	-8
	-4	1	-1	-4	1

4•(-8) •(-1)+(-1) •2•(-4)+ 2•2•1=44

 

Im nächsten Schritt werden die Diagonalen gespiegelt und ebenfalls die Werte innerhalb einer kompletten Nebendiagonalen Multipliziert und die Ergebnisse Addiert.

 

	4	-1	2	4	-1
A=	2	-8	2	2	-8
	-4	1	-1	-4	1

-4•(-8) •2+1 •2•4+ (-1)•2•(-1)=74

 

Als letzter Schritt zur Berechnung der Determinante nach der Regel von Sarrus  wird das erste Ergebnis mit dem  zweiten Subtrahiert.

 

 44-74=-30

 

 Das Ergebnis ist Ungleich Null und damit ist die Matrize (Matrix) invertierbar.

Mit Hilfe der nachfolgenden Formel können nun die Unterdeterminanten bestimmt werden. 

 

		a	b	c
A-1=	1/det A	d	e	f
		g	h	i

 

Um den neuen Wert von a zu berechnen, wird die Zeile und Spalte in der Ausgangs Matrize (Matrix) A weg gestrichen in dennen a vorhanden ist und eine neue Matrize (Matrix) aus den übergebliebenen Werten gebildet.

 

a=		-8	2	b=	2	2	c=	2	-8	d=	-1	2	e=	4	2
		1	-1		-4	-1		-4	1		1	-1		-4	-1
	f=	4	-1	g=	-1	2	h=	4	2	i=	4	-1
		-4	1		-8	2		2	2		2	-8

 

Jetzt können die Determinanten, welche auch den vorläufigen Werten in der A-1 Matrize (Matrix) entsprechen, berechnet werden.

Bei einer 2-reihigen Determinante ist es etwas anders als bei einer 3-reihigen Determinante. Sie wird nicht erweitert und nur die Hauptdiagonale mit der Nebendiagonalen Subtrahiert.

 

a=	-8•(-1)-1•2=	6
b=	2•(-1)-(-4)•2=	6
c=	2•1-(-4)•(-8)=	-30
d=	-1•(-1)-1•2=	-1
e=	4•(-1)-(-4)•2=	4
f=	4•1-(-4)•(-1)=	0
g=	-1•2-(-8)•2=	14
h=	4•2-2•2=	4
i=	4•(-8)-2•(-1)=	-30

 

  Die aus den Ergebnissen entstandene Matrize (Matrix) muss jetzt noch Transponiert werden und mit Hilfe der Schachbrettregel die neuen Vorzeichen bestimmt werden.

 

		6	6	-30		6	-1	14		+	-	+
A-1=	1/-30	-1	4	0	==>	6	4	4	•	-	+	-
		14	4	-30		-30	0	-30		+	-	+
		6	1	14
A-1=	1/-30	-6	4	-4
		-30	0	-30

 

Im letzten Schritt werden die einzelnen Werte der neuen Matrize (Matrix) mit der Determinante von A dividiert und die Ergebnisse nach Möglichkeit gekürzt.

 

	6/-30	1/-30	14/-30		-1/5	-1/30	-7/15
A-1=	-6/-30	4/-30	-4/-30	==>	1/5	-2/15	2/15
	-30/-30	0/-30	-30/-30		1	0	1

 

Um das Ergebnis zu überprüfen muss man die Matrize (Matrix) A mit der Matrize (Matrix) A-1 Multiplizieren.

Wenn A-1 stimmt müsste als Ergebnis die Einheitsmatrix rauskommen.

 

			-1/5	-1/30	-7/15
			1/5	-2/15	2/15
			1	0	1
4	-1	2	a	b	c
2	-8	2	d	e	f
-4	1	-1	g	h	i

 

Die einzelnen Felder werden wie folgt berechnet:

 

a=	4•(-1/5)+(-1)•1/5+2•1=	1
b=	4•(-1/30)+(-1)•(-2/15)+2•0=	0
c=	4•(-7/15)+(-1)•2/15+2•1=	0
d=	2•(-1/5)+(-8)•1/5+2•1=	0
e=	2•(-1/30)+(-8)•(-2/15)+2•0=	1
f=	2•(-7/15)+(-8)•2/15+2•1=	0
g=	-4•(-1/5)+1•1/5+(-1)•1=	0
h=	-4•(-1/30)+1•(-2/15)+(-1)•0=	0
i=	-4•(-7/15)+1•2/15+(-1)•1=	1

 

Probenergebnis:

1	0	0
0	1	0
0	0	1

 

Ergebnis stimmt, da nach der Multiplikation die Einheitsmatrix als Ergebnis rauskommt.