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Extremwerte

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Gesucht sind die Extremwerte von folgenden Funktionen

 

1.

f(x)=

x+1

x-1

 

2.

f(x)=

2x+3x-4

x

3.

f(x)=

x-2x+x

 

4.

f(x)=

x+4x+4

x+2

 

Um die Extremwerte zu bestimmen muss man die erste Ableitung bilden und danach auf x umstellen. Um eine gebrochenrationale Funktion abzuleiten muss man die Quotientenregel anwenden die wie folgt lautet.

 

 

f(x)=

u

 

f(x)=

uv-vu

v

 

V

 

1.

    u= x+1 v=x-1

u=1 v=1

 

 

f(x)=

1(x-1)-1(x+1)

(x-1)

 

 

f(x)=

-2

(x-1)

    0=2

 

Daraus folgt das es keine Extremwerte fr diese Funktion gibt.

 

2.

    u= 2x+3x-4 v=x

u=4x+3 v=2x

 

 

f(x)=

(4x+3)(x)-(2x)(2x+3x-4)

(x)

 

 

f(x)=

4x+3x-4x-6x+8x

(x)

 

    0=-3x+8x durch -3 teilen

    0=x-2,666x Jetzt pq- Formel anwenden

    x=-(-2,666/2)√((-2,666/2)-0)

    x=1,333√(1,777)

    x=1,333+1,333=2,666

    x=1,333-1,333=0

 

Jetzt werden die Werte mit dem Definitionsbereich verglichen. Da 0 im Definitionsbereich ausgeschlossen ist, ist nur x=2,666 ein Extremwert.

Um die passenden y-Werte auszurechnen setzt man die errechneten Wert in die

Ausgangsgleichung ein.

 

 

f(x)=

2(2,666)+3(2,666)-4

(2,666)

    y=2,563

 

Das heit das der Extremwert die Position x=2,666 und y=2,563 hat

 

3.

    f(x)=3x-4x+1 geteilt durch drei

    0=x-1,333x+0,333 pq- Formel anwenden

    x=-(-1,333/2)√((-1,333/2)-0,333)

    x=0,666√(0,111)

    x=0,666+0,333=1

    x=0,666-0,333=0,333

 

Jetzt werden die Werte mit dem Definitionsbereich verglichen. Beide Werte sind nicht ausgeschlossen. Das heit x=1 und x=0,333 sind Extremwerte.

Um die passenden y-Werte auszurechnen setzt man die errechneten Wert in die Ausgangsgleichung ein.

 

    y=0 und y=0,148

 

Das heit das die Extremwerte die Positionen x=1; y=0 und x=0,333 ; y=0,148 haben.

 

4.

    u= x+4x+4 v= x+2

u=2x+4 v=1

 

 

f(x)=

(2x+4)(x+2)-1(x+4x+4)

(x+2)

 

 

f(x)=

2x+4x+4x+8-x-4x-4

(x+2)

 

    0=x+4x+4 Jetzt pq- Formel anwenden

    x=-(4/2)√((4/2)-4)

    x=-2√(0)

    x=-2+0=-2

    x=-2-0=-2

 

Jetzt werden die Werte mit dem Definitionsbereich verglichen. Da -2 im Definitionsbereich ausgeschlossen ist, gibt es keinen Extremwert.

 

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