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Gegeben ist die Matrize (Matrix) A

Gesucht sind die Eigenwerte und Eigenvektoren von A und B

 

	2	0	4			3	2	-1
A=	0	6	0		B=	2	6	-2
	4	0	2			0	0	2

 

Um die Eigenwerte von A zu bestimmen muss man im ersten schritt die Hauptdiagonale der Matrize (Matrix) um minus Lambda (–λ) erweitert.

 

	2–λ	0	4
A=	0	6–λ	0
	4	0	2–λ

 

Jetzt wird die Determinante von der Matrize (Matrix) gebildet, nach der Regel von Sarrus fόr 3-reihige Determinanten.

Die Matrix wird um die ersten zwei Spalten erweitert und die Werte innerhalb einer kompletten Hauptdiagonalen Multipliziert und die Ergebnisse Addiert.  

 

	2–λ	0	4	2–λ	0
A=	0	6–λ	0	0	6–λ
	4	0	2–λ	4	0

(2–λ) •(6–λ) •(2–λ)+(0) •0•(4)+ 4•0•0

 

Im nδchsten Schritt werden die Diagonalen gespiegelt und ebenfalls die Werte innerhalb einer kompletten Nebendiagonalen Multipliziert und die Ergebnisse Addiert.

 

	2–λ	0	4	2–λ	0
A=	0	6–λ	0	0	6–λ
	4	0	2–λ	4	0

4•(6–λ) •4+0 •0•(2–λ)+ (2–λ)•0•0

 

Als letzter Schritt zur Berechnung der Determinante nach der Regel von Sarrus  wird das erste Ergebnis mit dem  zweiten Subtrahiert.

 

 (2–λ) •(6–λ) •(2–λ)- 4•(6–λ) •4=0

 

 Als erstes kann (6–λ) ausgeklammert werden und die restlichen Werte soweit wie mφglich Multipliziert werden.

 

0=(6–λ)•(4-4 λ+ λ²-16)

0=(6–λ)•( λ²-4 λ -12)............Jetzt geht man vor wie bei der Nullstellenberechnung

λ =6

0= λ²-4 λ-12..............pq- Formel anwenden

λ =-(-4/2)±√((-4/2)²-(-12))

λ =2±√16

λ =2+4=6

λ =2-4=-2

 

Die Eigenwerte sind (-2;6;6)

 

Um die Eigenvektoren zu berechnen, setzt man die Eigenwerte fόr Lambda ein.

 

2–(-2)	0	4
0	6–(-2)	0
4	0	2–(-2)

 

4	0	4		a		4a+0b+4c=0
0	8	0		b	=	0a+8b+0c=0
4	0	4		c		4a+0b+4c=0

 

Jetzt wird die obere Zeile nach a, die mittlere nach b und die untere nach c umgestellt. Da a=-c ist kann man fόr a=-1 annehmen und daraus ergibt sich das c=1 sein muss. b muss 0 sein weil das sich aus der Rechnung ergibt.

 

4a+4c=0		a=-c		-1
8b=0	==>	b=0	==>	0
4a+4c=0		c=-a		1

 

Das gleiche wird auch mit dem zweiten Eigenwert gemacht.

 

2-6	0	4
0	6–6	0
4	0	2–6

 

-4	0	4		a		-4a+0b+4c=0
0	0	0		b	=	0a+0b+0c=0
4	0	-4		c		4a+0b-4c=0

 

Jetzt wird die obere Zeile nach a, die mittlere nach b und die untere nach c umgestellt. Da a=c ist kann man fόr a =1 annehmen und daraus ergibt sich das c=1 sein muss. b muss 0 sein weil es keine Werte gibt.

 

-4a+4c=0		a=c		1
0=0	==>	b=0	==>	0
4a-4c=0		c=a		1

 

Um die Eigenwerte von B zu berechnen, geht man vor wie bei A.

 

	3–λ	2	-1
B=	2	6–λ	-2
	0	0	2–λ

 

	3–λ	2	-1	3–λ	2
A=	2	6–λ	-2	2	6–λ
	0	0	2–λ	0	0

(3–λ) •(6–λ) •(2–λ)+(2) •(-2)•(0)+ (-1)•2•0

 

	3–λ	2	-1	3–λ	2
A=	2	6–λ	-2	2	6–λ
	0	0	2–λ	0	0

0•(6–λ) •(-1)+0 •(-2)•(3–λ)+ (2–λ)•2•2

 

 (3–λ) •(6–λ) •(2–λ)- (2–λ)•2•2=0

 

 0=(2–λ)•(18-9 λ+ λ²-4)

0=(2–λ)•( λ²-9 λ +14)............Jetzt geht man vor wie bei der Nullstellenberechnung

λ =2

0= λ²-9 λ+14..............pq- Formel anwenden

λ =-(-9/2)±√((-9/2)²-14)

λ =4,5±√6,25

λ =4,5+2,5=7

λ =4,5-2,5=2

 

Die Eigenwerte sind (2;2;7)

 

3–2	2	-1
2	6–2	-2
0	0	2–2

 

1	2	-1		a		1a+2b-1c=0
2	4	-2		b	=	2a+4b-2c=0
0	0	0		c		0a+0b+0c=0

 

Jetzt wird die obere Zeile nach a, die mittlere nach b und die untere nach c umgestellt. Da c=0 sein muss, kann man όberall das c wegstreichen. Fόr a ergibt sich -2b und fόr b ergibt sich 0,5a.

 

1a+2b=0		a=-2b		-2
2a+4b=0	==>	b=0,5a	==>	1
0=0		c=0		0

 

Das gleiche wird auch mit dem zweiten Eigenwert gemacht.

 

3-7	2	-1
2	6–7	-2
0	0	2–7

 

-4	2	-1		a		-4a+2b-1c=0
2	-1	-2		b	=	2a-1b-2c=0
0	0	-5		c		0a+0b-5c=0

 

Jetzt wird die obere Zeile nach a, die mittlere nach b und die untere nach c umgestellt. Da c=0 sein muss, kann man όberall das c wegstreichen. Fόr a ergibt sich 0,5b und fόr b ergibt sich 2a.

 

-4a+2b=0		a=0,5b		1
2a-1b-=0	==>	b=2a	==>	2
5c=0		c=0		0