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Bestimmung der Eigenwerte und Eigenvektoren

.

Gegeben ist die Matrize (Matrix) A

Gesucht sind die Eigenwerte und Eigenvektoren von A und B

 

 

2

0

4

 

 

3

2

-1

A=

0

6

0

 

B=

2

6

-2

 

4

0

2

 

 

0

0

2

 

Um die Eigenwerte von A zu bestimmen muss man im ersten schritt die Hauptdiagonale der Matrize (Matrix) um minus Lambda (–λ) erweitert.

 

 

λ

0

4

A=

0

λ

0

 

4

0

λ

 

Jetzt wird die Determinante von der Matrize (Matrix) gebildet, nach der Regel von Sarrus fόr 3-reihige Determinanten.

Die Matrix wird um die ersten zwei Spalten erweitert und die Werte innerhalb einer kompletten Hauptdiagonalen Multipliziert und die Ergebnisse Addiert.  

 

 

λ

0

4

λ

0

A=

0

λ

0

0

λ

 

4

0

λ

4

0

(2–λ) •(6–λ) •(2–λ)+(0) •0•(4)+ 4•0•0

 

Im nδchsten Schritt werden die Diagonalen gespiegelt und ebenfalls die Werte innerhalb einer kompletten Nebendiagonalen Multipliziert und die Ergebnisse Addiert.

 

 

λ

0

4

λ

0

A=

0

λ

0

0

λ

 

4

0

λ

4

0

4•(6–λ) •4+0 •0•(2–λ)+ (2–λ)•0•0

 

Als letzter Schritt zur Berechnung der Determinante nach der Regel von Sarrus  wird das erste Ergebnis mit dem  zweiten Subtrahiert.

 

 (2–λ) •(6–λ) •(2–λ)- 4•(6–λ) •4=0

 

 Als erstes kann (6–λ) ausgeklammert werden und die restlichen Werte soweit wie mφglich Multipliziert werden.

 

0=(6–λ)•(4-4 λ+ λ²-16)

0=(6–λ)•( λ²-4 λ -12)............Jetzt geht man vor wie bei der Nullstellenberechnung

λ =6

0= λ²-4 λ-12..............pq- Formel anwenden

λ =-(-4/2)±√((-4/2)²-(-12))

λ =2±√16

λ =2+4=6

λ =2-4=-2

 

Die Eigenwerte sind (-2;6;6)

 

Um die Eigenvektoren zu berechnen, setzt man die Eigenwerte fόr Lambda ein.

 

2–(-2)

0

4

0

6–(-2)

0

4

0

2–(-2)

 

4

0

4

 

a

 

4a+0b+4c=0

0

8

0

 

b

=

0a+8b+0c=0

4

0

4

 

c

 

4a+0b+4c=0

 

Jetzt wird die obere Zeile nach a, die mittlere nach b und die untere nach c umgestellt. Da a=-c ist kann man fόr a=-1 annehmen und daraus ergibt sich das c=1 sein muss. b muss 0 sein weil das sich aus der Rechnung ergibt.

 

4a+4c=0

 

a=-c

 

-1

8b=0

==>

b=0

==>

0

4a+4c=0

 

c=-a

 

1

 

Das gleiche wird auch mit dem zweiten Eigenwert gemacht.

 

2-6

0

4

0

6–6

0

4

0

2–6

 

-4

0

4

 

a

 

-4a+0b+4c=0

0

0

0

 

b

=

0a+0b+0c=0

4

0

-4

 

c

 

4a+0b-4c=0

 

Jetzt wird die obere Zeile nach a, die mittlere nach b und die untere nach c umgestellt. Da a=c ist kann man fόr a =1 annehmen und daraus ergibt sich das c=1 sein muss. b muss 0 sein weil es keine Werte gibt.

 

-4a+4c=0

 

a=c

 

1

0=0

==>

b=0

==>

0

4a-4c=0

 

c=a

 

1

 

Um die Eigenwerte von B zu berechnen, geht man vor wie bei A.

 

 

λ

2

-1

B=

2

λ

-2

 

0

0

λ

 

 

λ

2

-1

λ

2

A=

2

λ

-2

2

λ

 

0

0

λ

0

0

(3–λ) •(6–λ) •(2–λ)+(2) •(-2)•(0)+ (-1)•2•0

 

 

λ

2

-1

λ

2

A=

2

λ

-2

2

λ

 

0

0

λ

0

0

0•(6–λ) •(-1)+0 •(-2)•(3–λ)+ (2–λ)•2•2

 

 (3–λ) •(6–λ) •(2–λ)- (2–λ)•2•2=0

 

 0=(2–λ)•(18-9 λ+ λ²-4)

0=(2–λ)•( λ²-9 λ +14)............Jetzt geht man vor wie bei der Nullstellenberechnung

λ =2

0= λ²-9 λ+14..............pq- Formel anwenden

λ =-(-9/2)±√((-9/2)²-14)

λ =4,5±√6,25

λ =4,5+2,5=7

λ =4,5-2,5=2

 

Die Eigenwerte sind (2;2;7)

 

3–2

2

-1

2

6–2

-2

0

0

2–2

 

1

2

-1

 

a

 

1a+2b-1c=0

2

4

-2

 

b

=

2a+4b-2c=0

0

0

0

 

c

 

0a+0b+0c=0

 

Jetzt wird die obere Zeile nach a, die mittlere nach b und die untere nach c umgestellt. Da c=0 sein muss, kann man όberall das c wegstreichen. Fόr a ergibt sich -2b und fόr b ergibt sich 0,5a.

 

1a+2b=0

 

a=-2b

 

-2

2a+4b=0

==>

b=0,5a

==>

1

0=0

 

c=0

 

0

 

Das gleiche wird auch mit dem zweiten Eigenwert gemacht.

 

3-7

2

-1

2

6–7

-2

0

0

2–7

 

-4

2

-1

 

a

 

-4a+2b-1c=0

2

-1

-2

 

b

=

2a-1b-2c=0

0

0

-5

 

c

 

0a+0b-5c=0

 

Jetzt wird die obere Zeile nach a, die mittlere nach b und die untere nach c umgestellt. Da c=0 sein muss, kann man όberall das c wegstreichen. Fόr a ergibt sich 0,5b und fόr b ergibt sich 2a.

 

-4a+2b=0

 

a=0,5b

 

1

2a-1b-=0

==>

b=2a

==>

2

5c=0

 

c=0

 

0

 


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